1

¿La fracción generatriz de 2,999999999…. es 3/1?

Al intentar calcular la fracción generatriz de 2,99999… os habréis encontrado con que la representación en fracción de 2,9999… es el número 3. ¿Se trata de un error? ¿Hay algo mal en el proceso para obtener la fracción generatriz?.

Primero de todo vamos a ver cómo es el proceso y comprobar que efectivamente nos da 3 siguiendo el sistema visto en clase:

Revisión del proceso

Partimos del número decimal al que vamos a llamar x, de esta forma \displaystyle{x=2,999999999\ldots}

Construimos las dos expresiones para que al restarlas desaparezca el periodo y nos quede una fracción. Observa que en la segunda expresión hemos multiplicado cara término por 10

\displaystyle{x=2,9999\ldots}
10\cdot x=29,999\ldots

Cuando restamos las dos expresiones término a término:

9x=27
x= \frac{27}{9}=3

¿Por qué ocurre esto?

Efectivamente el proceso nos ha llevado a concluir que \frac{3}{1}=2,9999\ldots ¿por qué ocurre esto?

La explicación es compleja pero antes de que sigas leyendo te advierto de que en matemáticas, 0,999… es el número decimal periódico que denota al número 1. En otras palabras, los símbolos «0,999…» y «1» son dos representaciones distintas del mismo número real. ¿Sorprende? Estoy seguro de que sí, trata de afrontar la explicación con actitud abierta, estas cosas son de todo menos evidentes.

Vamos a intentar enfocar esta cuestión de una forma diferente. Al final de este texto tienes algunos artículos donde encontrar información valiosa al respecto, especialmente recomendable el artículo de la wikipedia del que se ha extraído parte de esta explicación:

Primero de todo, se dice que 2,9999… decimal periódico puro es 3. Aunque resulte sorprendente observa que pese a la densidad de los racionales entre 2,9999999… y 3 no podemos encontrar ningún número racional. Observa que entre 2,8 y 2,9 podemos encontrar infinitos números racionales. Por ejemplo: 2,81 o 2,82 o 2,87345 o 2,999999995… o tantos otros ejemplos. Sin embargo entre 2,99999999999999… y 3 no hay ningún número racional.

Una primera aproximación

Utilizando el algoritmo de la división, una simple división de enteros como 1/9, se convierte en el decimal periódico 0,111…, en el que los dígitos se repiten sin fin. Este ejemplo se utiliza para dar una rápida demostración de que 0,9999\ldots=1

La multiplicación de 9 por 1 da 9 en cada dígito, así:

\displaystyle{9 \cdot 0,1111\ldots=0,999999\ldots}
Por otro lado: \displaystyle{9 \cdot \frac{1}{9}=1}
lo que implica que \displaystyle{0,9999\ldots=1}

Otra curiosa forma de verlo

En microsiervos (cita (1)) aparece una forma interesante de ver esta misma cuestión:
Observa que la suma de estas tres fracciones da 1

\displaystyle{1=\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} =0,33\ldots+0,33\ldots+0,33\ldots=0,999\ldots

Esta nota extraído del artículo de la wikipedia citado al final del artículo (cita (2)) os puede resultar de utilidad.

“Aunque estas pruebas demuestran que 0,999… = 1, el pretender que «explican» la ecuación, depende de las expectativas de la audiencia atendida. En aritmética elemental, estas pruebas ayudan a explicar por qué 0,999… = 1, o por qué 0,333… < 0,34. En álgebra elemental, estas demostraciones explican por qué el método general de conversión entre fracciones y números decimales funciona. Pero las pruebas no aclaran la relación fundamental entre los decimales y los números a los cuales representan, donde subyace la pregunta de cómo dos decimales distintos pueden ser, de hecho, iguales. William Byers argumenta que el estudiante que acepta que 0,999... = 1 basado en estas pruebas, pero que no ha resuelto la ambigüedad, no ha entendido realmente la ecuación. Según Fred Richman, el primer argumento «toma su fuerza del hecho de que la mayor parte de la gente ha sido adoctrinada para aceptar la primera ecuación sin pensarlo»".

Enlaces interesantes sobre este tema

Gran parte de la información reflejada en esta entrada está extraída parcial o totalmente de artículos e ideas encontradas en internet. Os dejo algunas de ellas.

1 comment

  • Antonio 1 año ago

    Está bien explicado.

Comments are closed.